已知f=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f．

题文

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值及函数表达式f（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解∵f（x）=-4(x-a2)2-4a，此抛物线顶点为(a2，-4a)．
当a2≥1，即a≥2时，f（x）取最大值-4-a²．令-4-a²=-5，得a²=1，a=±1＜2（舍去）．
当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，x=a2时，f（x）取最大值为-4A、令-4a=-5，得a=54∈（0，2）．
当a2≤0，即a≤0时，f（x）在[0，1]内递减，∴x=0时，f（x）取最大值为-4a-a²，
令-4a-a²=-5，得a2+4a²-5=0，解得a=-5，或a=1，其中-5∈（-∞，0]．
综上所述，a=54或a=-5时，f（x）在[0，1]内有最大值-5．
∴f（x）=-4x²+5x-2516或f（x）=-4x²-20x-5．

解析

a2

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=-4x2+4ax-4a-a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。