已知函数f=logax-3x+3，g=f+x3+2若g=3求g的值若f的定义域为[α，β），值域为（logaa

题文

已知函数f（x）=logax-3x+3，g（x）=f（x）+x³+2
（1）若g（t）=3求g（-t）的值
（2）若f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
①求证：a＞3
②若函数f（x）为[α，β）上的减函数，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得x-3x+3＞0，得x＞3或x＜-3；（1分）
∵f（-x）=loga-x-3-x+3=logax+3x-3=-logax-3x+3=f（-x）
∴f（x）为奇函数；（3分）
∵g（x）=f（x）+x³+2，g（t）=3
∴g（t）+g（-t）=f（t）+t³+2+f（-t）+（-t）³+2=4
∴g（t）+g（-t）=4．故g（-t）=1（5分）
（2）由（1）知f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）
①∵a（α-1）＞0且a＞0，则α＞1，
又∵已知f（x）的定义域为[α，β），
∴β＞α＞3．则α＞3．（8分）
②∵函数y=x-3x+3=1-6x+3在其定义域[α，β）上为增函数，
又∵f（x）在[α，β）上为减函数，∴0＜a＜1；（9分）
∵f（x）的定义域为[α，β），值域为（log_aa（β-1），log_aa（α-1）]
∴logα-3α+3a=log_a^a（α-1）且logβ-3β+3a=log_aa（β-1），
说明α，β 是方程x-3x+3=a(x-1)的两个相异实数根，且β＞α＞3，
即方程ax²+（2a-1）x+3-3a=0在区间（3，+∞）内有两相异实根．
设h（x）=ax²++（2a-1）x+3-3a，
则有△=(2a-1)2-4a(3-3a)＞0-2a-12a＞3h(3)＞0，解a＜2-34或a＞2+34a＜18a＞0
又∵0＜a＜1，
综上解得：0＜a＜2-34，
∴满足条件的a的取值范围是（0，2-34）．（14分）

解析

x-3x+3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logax-3x+3，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。