已知函数f=|x2-4x+3|．求函数f的单调区间，并指出其增减性；若关于x的方程f-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取

题文

已知函数f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）若关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=|x²-4x+3|=x2-4x+3     (x≤1)-x2+4x-3    (1＜x＜3)x2-4x+3      (x≥3)



∴当x≤1时，函数为减函数；当1≤x≤2时，函数为增函数；
当2≤x≤3时，函数为减函数；当x≥3时，函数为增函数
由此可得：函数的单调递增区间为[1，2]和[3，+∞），
递减区间为（-∞，1]和[2，3]
（2）关于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-34，
∴当a=-34时，直线y=x+a与曲线y=-x²+4x-3相切于点A（32，34），
又∵直线y=x+a经过点B（1，0）时，两图象也有三个公共点，此时a=-1
∴当直线y=x+a位于点A、B之间（含边界）时，两图象至少有三个不同的交点
由此，结合函数图象可得a∈[-1，-34]．

解析

x2-4x+3     (x≤1)-x2+4x-3    (1＜x＜3)x2-4x+3      (x≥3)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=|x2-4x+3|．（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。