函数f(x)=x+b1+x2是定义在上的奇函数．求函数f的解析式；用单调性定义证明函数f在上是增函数．

题文

函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故-x+b1+x2=-x+b1+x2，
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=x1+x2．…（5分）
（ II） 设0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
则△y=f（x₂）-f（x₁）=x21+x22-x11+x21=x2-x1+x2x21-x1x22(1+x21)(1+x22)=(x2-x1)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22)=△x(1-x1x2)(1+x21)(1+x22)…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 1+x21＞0，1+x22＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）

解析

-x+b1+x2

考点

据考高分专家说，试题“函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。