已知定义域为的单调函数f，若对任意x∈，都有f[f+log12x]=3”，则方程f=2+x的解的个数是A．3B

题文

已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+log12x]=3”，则方程f（x）=2+x的解的个数是（ ）A．3B．2C．1D．O 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），
满足f[f（x）+log12x]=3，f（x）=2+x，
∴必存在唯一的正实数a，
满足f(x)+log12x=a，f（a）=3，①
∴f(a)+log12a=a，②
由①②得：3+log12a=a，
log12a=a-3，
a=(12)a-3，左增，右减，有唯一解a=2，
故f(x)+log12x=a=2，
f（x）=2-log12x，
由2-log12x=2+x，得log2x=x，
∴x=2x，
令t=x＞0，则t²=2^t，
此方程只有两个正根t=2，或t=4，
∴x=4，或x=16．
故方程f（x）=2+x的解的个数是2．
故选B．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。