某工厂生产某种产品，每日的成本C与日产里x满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R与日产量x满足函数关系式R=-

题文

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式
R=-130x3+ax2 +290x，0＜x＜12020400，x＞120
已知每日的利润y=R-C，且当x=30时y=-100．
（I）求a的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由题意可得：y=-130x3+ax2 +270x-10000，0＜x＜12010400-20x，x≥120
∵当x=30时y=-100
∴-100=-130×30³+a×30²+270×30-10000
解得 a=3
（II）当0＜x＜120时，y=-130×x³+3x²+270x-10000
y′=-110x²+6x+270
由y′=-110x²+6x+270=0可得：x=90或x=-30（舍）
所以当x∈（0，90）时，原函数是增函数，当x∈（90，120）时，原函数是减函数
所以当x=90时，y取最大值14300
当x≥120时，y=10400-20x≤8000
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元．

解析

-130x3+ax2 +270x-10000，0＜x＜12010400-20x，x≥120

考点

据考高分专家说，试题“某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。