题文
已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b，（1）若f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不等的实根x1，x2（x1＜x2），则
①试判断函数f（x）在区间（-1，1）上是否具有单调性，并说明理由；
②若方程f（x）=0的两实根为x3，x4（x3＜x4），求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0∴g(x)=-1a2x，∴函数g（x）为奇函数；（4分）
（2）①由g(x)=bx-1a2x+2b=x得方程a2x2+bx+1=0（*）有不等实根
∴△=b2-4a2＞0及a≠0得|b2a|＞1即-b2a＜-1或-b2a＞1（7分）
又f（x）的对称轴x=-b2a∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是单调函数（10分）
②x1，x2是方程（*）的根，∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1，同理bx2=-a2x22-1
∴f（x1）=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=（a-a2）x12
同理f（x2）=（a-a2）x22
要使x3＜x1＜x2＜x4，只需a＞0f(x1)＜0f(x2)＜0即a＞0a-a2＜0，∴a＞1
或a＜0f(x1)＞0f(x2)＞0即a＜0a-a2＞0，解集为φ
故a的取值范围a＞1（16分）
解析
1a2x考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
