已知函数f=x2-x-2若当x∈[1，3]时，f为单调函数，求a的取值范围；求函数f在[2，4]上的最大值g；（

题文

已知函数f（x）=x²-（a²-a）x-2
（1）若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值g（a）；
（3）求g（a）的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=x²-（a²-a）x-2的图象是开口方向朝上，以x=a2-a2为对称轴的抛物线
若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，
则a2-a2≤1，或a2-a2≥3
解得a≤-2，或-1≤a≤2，或a≥3
故a的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2]∪[3，+∞）
（2）当a2-a2≥3，即a≤-2，或a≥3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（2）=-2（a²-a）+2；
当a2-a2＜3，即-2＜a＜3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（4）=-4（a²-a）+14；
故g（a）=-2a2+2a+2，a≤-2，或a≥3-4a2+4a+14，-2＜a＜3
（3）由（2）得当a≤-2，或a≥3时时，g（a）的最大值为-10
当-2＜a＜3时g（a）的最大值为15
故g（a）的最大值为15

解析

a2-a2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-（a2-a）x-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。