已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f≥0；②f=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1

题文

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0
（2 ） 证明：由题设知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
设x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则2x1≥1，2x2≥1；
∴g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
∴函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）证明：若f（x₀）＞x₀，则由题设知：f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，
∴由题设及③知：x₀=f（f（x₀））=f[（f（x₀）-x₀）+x₀]=f[f（x₀）-x₀]+f（x₀）≥f（x₀）
矛盾；
若f（x₀）＜x₀，则则由题设知：x₀-f（x₀）∈[0，1]，且由①知f[x₀-f（x₀）]≥0，
∴同理得：f（x₀）=f[（x₀-f（x₀））+f（x₀）]=f[x₀-f（x₀）]+f（f（x₀））≥f（f（x₀））=x₀，矛盾；
故由上述知：f（x₀）=x₀．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。