题文
已知f （x）、g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么称h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个函数．设f （x）=x2+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x2+3x-1，h （x）为f （x）、g（x）在R上生成的一个二次函数．（Ⅰ）设a=1，b=2，若h （x）为偶函数，求h(2)；
（Ⅱ）设b＞0，若h （x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；
（Ⅲ）试判断h（x）能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）设h（x）=mf（x）+ng（x），则h（x）=m（x2+x）+n（x+2）=mx2+（m+n）x+2n（m≠0），因为h（x）为一个二次函数，且为偶函数，
所以二次函数h（x）的对称轴为y轴，即x=-m+n2m=0，
所以n=-m，则h（x）=mx2-2m，
则h(2)=0；（3分）
（Ⅱ）由题意，设h（x）=mf（x）+ng（x）=mx2+（am+n）x+bn（m，n∈R，且m≠0）
由h（x）同时也是g（x）、l（x）在R上生成的一个函数，
知存在m0，n0使得h（x）=m0g（x）+n0l（x）=2n0x2+（m0+3n0）x+（bm0-n0），
所以函数h（x）=mx2+（am+n）x+bn=2n0x2+（m0+3n0）x+（bm0-n0），
则m=2n0am+n=m0+3n0bn=bm0-n0，（5分）
消去m0，n0，得am=(12b+32)m，
因为m≠0，所以a=12b+32，（7分）
因为b＞0，
所以a+b=12b+32+b≥32+2b•12b=32+2（当且仅当b=22时取等号），
故a+b的最小值为32+2．（9分）
（Ⅲ）结论：函数h（x）不能为任意的一个二次函数．
以下给出证明过程．
证明：假设函数h（x）能为任意的一个二次函数，
那么存在m1，n1使得h（x）为二次函数y=x2，记为h1（x）=x2，
即h1（x）=m1f（x）+n1g（x）=x2；①
同理，存在m2，n2使得h（x）为二次函数y=x2+1，记为h2（x）=x2+1，
即h2（x）=m2f（x）+n2g（x）=x2+1．②
由②-①，得函数h2（x）-h1（x）=（m2-m1）f（x）+（n2-n1）g（x）=1，
令m3=m2-m1，n3=n2-n1，化简得m3（x2+ax）+n3（x+b）=1对x∈R恒成立，
即m3x2+（m3a+n3）x+n3b=1对x∈R恒成立，
所以m3=0m3a+n3=0n3b=1，即m3=0n3=0n3b=1，
显然，n3b=0×b=0与n3b=1矛盾，
所以，假设是错误的，
故函数h（x）不能为任意的一个二次函数．（14分）
注：第（Ⅲ）问还可以举其他反例．如h1（x）=2x2，h2（x）=2x2+1，
解析
m+n2m考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
