题文
已知函数f（x）=ax2+x+1（a＞0）的两个不同的零点为x1，x2（Ⅰ）证明：（1+x1）（1+x2）=1；
（Ⅱ）证明：x1＜-1，x2＜-1；
（Ⅲ）若x1，x2满足lgx1x2∈[-1，1]，试求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意知，x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+x+1=0的实数根，∴x1+x2=-1a，x1x2=1a．∴x1+x2=-x1x2
∴（1+x1）（1+x2）①（3分）
（Ⅱ）证明：由于关于x一元二次方程ax2+x+1=0有两个不等实数根x1，x2，
故有a＞0且△=1-4a＞0∴0＜a＜14（4分）
∴x1+x2=-1a＜-4x1•x2=1a＞4（5分）
∴(x1+1)+(x2+1)≤-2＜0(x1+1)(x2+1)=1＞0∴x1+1＜0x2+1＜0即x1＜-1，x2＜-1得证．（6分）
（Ⅲ）由lgx1x2∈[-1，1]⇔110≤x1x2≤10，由①得x1=11+x2-1=-x21+x2．
∴x1x2=-11+x2．∴110≤-11+x2≤10，∴111≤-1x2≤1011（7分）
∴a=1x1•x2=-1+x2x22=-(-1x2)2+（-1x2）=-[(-1x2)-12]2+14，（8分）
当-1x2=-12时，a取最大值为14；
当-1x2=-111或-1x2=-1011时，a取最小值10121；（10分）
又因为0＜a＜14，故a的取值范围是[10121，14)（12分）
解析
1a考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+x+1（a＞0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
