函数f=ax2+bx+1，x∈R，H(x)=f(x)0(x＞0)(x=0)-f(x)(x＜0)若f=0，且方程ax

题文

函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，且a≠0），x∈R，H(x)=f(x)0(x＞0)(x=0)-f(x)(x＜0)
（1）若f（-1）=0，且方程ax²+bx+1=0（a≠0）有唯一实根，求H（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k取值范围；
（3）设a=1且b=0，解关于m的不等式：H（m²+2）+H（3m）＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵ax²+bx+1=0（a≠0）有相等实根
∴△=b²-4a=0①…（1分）
又∵f（-1）=0
即 a-b+1=0②…（1分）
由①、②可得：a=1，b=2…（1分）
∴F(x)=x2+2x+1，x＞00，x=0-x2-2x-1，x＜0…（1分）
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1…（1分）
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数
∴-2+k2≤-2或k-22≥2…（3分）
∴k≤-2或k≥6…（1分）
（3）∵a=1且b=0
∴f（x）=x²+1…（1分）
∴H(x)=x2+1x＞0 0x=0 -x2-1x＜0 …（1分）
∴H（x）是奇函数且在R上是增函数
∵H（m²+2）+H（3m）＞0
∴H（m²+2）＞-H（3m）
∵H（x）是奇函数
∴H（m²+2）＞H（-3m）…（1分）
又∵H（x）在R上是增函数
∴m²+2＞-3m
解得：m＞-1或m＜-2…（1分）
∴不等式的解集为（-∞，-2）∪（-1，+∞）…（1分）

解析

x2+2x+1，x＞00，x=0-x2-2x-1，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。