已知二次函数f=ax2+bx+c，且同时满足下列条件：f=0；对于任意的实数x，都有f-x≥0；（3

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：
（1）f（-1）=0；
（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；
（3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(x+12)2．
①求f（1）；
②求a，b，c的值；
③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f(1)≤(1+12)2=1，∴f（1）=1．
（2）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=12，a+c=12．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化简得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=12，a+c =12，代入化简可得 (a-14)2 ≤ 0，
∴a=14，c=14．
（3）由上可得 f（x）=14x2+12x+14，∴g(x)=f(x)-mx=14x2+12x+14-mx=14x2+(12-m)x+14，
因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-12-m2×14≤-1，或-12-m2×14≥1，
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．

解析

1+12

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。