若定义在[-2011，2011]上的函数f满足：对于任意x1，x2∈[-2011，2011]有f=f+f-2011，且x＞0

题文

若定义在[-2011，2011]上的函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0时，f（x）＞2011，f（x）的最大值与最小值分别为M、N，则M+N的值（ ）A．2010B．2011C．4020D．4022 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵对于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，
∴f（0）=2f（0）-2011
∴f（0）=2011
令x₁=2011，x₂=-2011
∴f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011
∴f（2011）+f（-2011）=4022
设x₁＜x₂∈[-2011，2011]
则x₂-x₁＞0
∵x＞0时，f（x）＞2011，
∴f（x₂-x₁）＞2011
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2011＞f（x₁）
∴函数f（x）在[-2011，2011]上单调递增
∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2011）、N=f（-2011）
则M+N=f（2011）+f（-2011）=4022
故选D

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“若定义在[-2011，2011]上的函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。