已知m∈R，函数f=ex若函数没有零点，求实数m的取值范围；当m=0时，求证f≥x2+x3．

题文

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x
（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m=0时，求证f（x）≥x²+x³． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x 没有零点，
∴方程 x²+mx+m=0 无解，∴△=m²-4m＜0，解得 0＜m＜4，
故实数m的取值范围为（0，4）．
（2）当m=0时，f（x）=x² •e^x，不等式等价于 x² •e^x≥x²+x³ ，
等价于 x² •e^x-x² -x³≥0，等价于 x²（e^x -x-1）≥0．
令g（x）=e^x -x-1，当x＜0时，g′（x）=e^x -1＜0，故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，0）上是减函数．
当x＞0时，g′（x）=e^x -1＞0，故g（x）=e^x -x-1 在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）=e^x -x-1 在（-∞，+∞）上的最小值为g（0）=0，故g（x）≥0恒成立，
∴x²（e^x -x-1）≥0成立，故要证的不等式成立．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。