若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．

题文

若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵0＜a，b，c＜1
∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）
∵11-a+11-b+11-c[（1-a）+（1-b）+（1-c）]
=1+1-b1-a+1-c1-a+1+1-a1-b+1-c1-b+1+1-a1-c+1-b1-c
=3+(1-b1-a+1-a1-b)+(1-c1-a+1-a1-c)+(1-c1-b+1-b1-c)
≥3+2(1-b)(1-a)(1-a)(1-b)+2(1-c)(1-a)(1-a)(1-c)+2(1-c)(1-b)(1-b)(1-c)=9
当且仅当a=b=c=33取等号
∴11-a+11-b+11-c≥93-(a+b+c)
又∵2（a+b+c）²=（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）+4ab+4ac+4bc
≥2ab+2ac+2bc+4ab+4ac+4bc=6（ab+ac+bc）=6
∴a+b+c≥3
∴3-(a+b+c)≤3-3
∴93-(a+b+c)≥93-3=9-333
11-a+11-b+11-c≥93-(a+b+c)≥9-332（当且仅当a=b=c=33）时取等号
故11-a+11-b+11-c的最小值9-332

解析

11-a

考点

据考高分专家说，试题“若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。