题文
设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-12，+∞），f/(x)=4x2+2x+2b2x+1∵函数f（x）是增函数，∴f/(x)=4x2+2x+2b2x+1≥0在（-12，+∞）上恒成立，
∴4x2+2x+2b≥0在（-12，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-x在（-12，+∞）上恒成立
又∵-2x2-x≤18，当且仅当x=-14时，等号成立，∴b≥18
（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x2+ln（2x+1）
设函数g（x）=f（x）-x=x2-x+ln（2x+1），则g（x）的定义域也是（-12，+∞），并且g/(x)=4x2+12x+1＞0
∴g（x）在整个定义域（-12，+∞）上是增函数．
∴对任意的正整数n，有g（n）＞g（0）恒成立
即对任意的正整数n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+bln（2x+1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
