已知logax+3logxa-logxy=3若设x=at，试用a、t表示y若y有最小值8，求a的值．

题文

已知log_ax+3log_xa-log_xy=3（a＞1）
（1）若设x=a^t，试用a、t表示y
（2）若y有最小值8，求a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）已知 log_ax+3log_xa-log_xy=3即log_ax+3log_xa-3=log_xy利用换底公式有：log_ax+3log_xa-3=logyalogxa
则；（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y．
设x=a^t用则：t=log_a^x．
即：t²-3t+3=log_a^y，y=at2-3t+3．
故答案为y=at2-3t+3．．
（2）当0＜t≤2时，y有最小值8，
设z=t²-3t+3．则y=a^z，因为a＞1所以函数y=a^z关于z单调递增．则z取最小值的时候y取最小值．
下求z的最小值，因为z=t²-3t+3，是开口向上的抛物线．则在对称轴取t=32得最小值z=34．代入函数y=a^z的最小值为y=a34．
因为y有最小值8，则a34= 8，a=16．
故答案为a=16．

解析

logyalogxa

考点

据考高分专家说，试题“已知logax+3logxa-logxy.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。