设函数f=kax-a-x是奇函数．求常数k的值；若0＜a＜1，f+f＞0，求x的取值范围；若f(

题文

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围；
（3）若f(1)=83，且函数g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），在上的最小值为-2，求m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴k-1=0，
∴k=1
经验证可知k=1时符合题意．…（4分）
（2）因f（x）是奇函数，
故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化为f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分）
∵0＜a＜1，
∴f（x）在R上是单调减函数，…（8分）
∴x+2＜2x-3，
∴x＞5
∴满足为f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范围为（5，+∞）…（10分）
（3）∵f（1）=83，
∴a-1a=83，即3a²-8a-3=0，
∴a=3（或a=-13舍去）．…（12分）
∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）+2=（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2
令t=3^x-3^-x，
∵x≥1，
∴t≥f（1）=83．
∴（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²．
当m≥83时，2-m²=-2，m=2，2＜83，故m=2应舍去；…（14分）
当m＜83时，(83)2-2m×83+2=-2，m=2512＜83．
∴m=2512．…（16分）

解析

83

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。