已知f=x|x-a|-2．当a=0时，求函数y=f+1的零点；若a＞0，求f的单调区间；若当x∈[0，1]时，恒有f＜

题文

已知f（x）=x|x-a|-2．
（1）当a=0时，求函数y=f（x）+1的零点；
（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=0时，y=f（x）+1=f（x）=x|x|-2+1，
当x≥0⇒x²=1⇒x=1或x=-1（负舍），
当x＜0⇒x²=-1不成立，
故y=f（x）+1的零点为  1
（2）f(x)=x|x-a|-2=x2-ax-2=(x-a2)2-2-a24，x＞a-x2+ax-2=-(x=a2)2-2+a24，x≤a.当a＞0，f（x）单调递增区间(-∞，a2)和（a，+∞），单调递减区间[a2，a]
（3）（i）当x=0时，显然f（x）＜0成立；
（ii）当x∈（0，1]时，由f（x）＜0，可得x-2x＜a＜x+2x，
令g(x)=x-2x(x∈(0，1])，h(x)=x+2x(x∈(0，1])，则有[g（x）]_max＜a＜[h（x）]_min．由g（x）单调递增，可知[g（x）]_miax=g（1）=-1．又h(x)=x+2x=(2x-x)2+2(x∈(0，1])是单调减函数，故[h（x）]_min=h（1）=3，故所求a的取值范围是（-1，3）．

解析

x2-ax-2=(x-a2)2-2-a24，x＞a-x2+ax-2=-(x=a2)2-2+a24，x≤a.

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x|x-a|-2．（1）当.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。