已知函数f=x2，g=|x-a|．当a=2时，求不等式f＞g的解集；设a＞1，函数h=fg，求h在x

题文

已知函数f（x）=x²，g（x）=|x-a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）设a＞1，函数h（x）=f（x）g（x），求h（x）在x∈[1，2]上的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x²＞|x-2|
∴{x|x＞1或x＜-2}
（2）h（x）=x²|x-a|x∈[1，2]
当1＜a≤2     h（x）=x²|x-a|≥0 在x=a时，最小值为0
当a＞2        h（x）=ax²-x³        hˊ（x）=3x（2a3-x）
令hˊ（x）=0，得x=0，x=2a3
当x∈（-∞，0）时   hˊ（x）＜0
当x∈（2a3，+∞）时    hˊ（x）＜0
当x∈（0，2a3）时      hˊ（x）＞0
∴当2a3≥2，h（x）的最小值为h（1）=0
当1＜2a3＜2，h（x）的最小值为h（1）与h（2）中较小者
又h（1）=a-1    h（2）=4a-8
∴当2＜a≤73  h（x）的最小值为h（2）=4a-8
当73＜a＜3    h（x）的最小值为h（1）=a-1
∴h（x）=0    1＜a≤24a-8    2＜a≤73a-1  a＞73

解析

2a3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2，g（x）=|x-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。