已知函数f=x2-x+alnx．求函数f的单调区间；若a=4，y=f的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值

题文

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定义域是（0，+∞）．f′(x)=2x-(a+2)+ax=2x2-(a+2)x+ax=2(x-a2)(x-1)x
①当a≤0时，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0时，f（x）的增区间为[1，+∞），
f（x）的减区间为（0，1]
②当0＜a＜2时，f′(x)≥0在(0，a2]∪[1，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[a2，1]上恒成立．
∴0＜a＜2时f(x)的增区间为(0，a2]，[1，+∞)，f(x)的减区间为[a2，1]．
③当a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2时，f（x）的增区间为（0，+∞）．
④当a＞2时，f′(x)≥0在(0，1]和[a2，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[1，a2]上恒成立，∴a＞2时，f(x)的增区间为(0，1]和[a2，+∞)，f(x)的减区间为[1，a2]．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上单调增，在[1，2]上单调减，在[2，+∞）上单调增．
∴f（x）_极小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_极大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是（4ln2-8，-5）．

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-（a+2）x+a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。