已知函数f(x)=2x+a2x+1，且函数f为奇函数．求a的值；若f(x)＜12，求x的取值范围；证明f在上为增函数

题文

已知函数f(x)=2x+a2x+1，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜12，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即2-x+a2-x+1+2x+a2x+1=0，1+a•2x2x+1+2x+a2x+1=0⇒(a+1)(2x+1)=0⇒a=-1
（Ⅱ）∵2x-12x+1＜12⇒2(2x-1)＜2x+1，
∴2^x＜3，∴x＜log₂3
（Ⅲ）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=2x1-12x1+1-2x2-12x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)
∵y'=2^x在R上为增函数，x₁＜x₂∴2^X₁＜2^X₂又∵2^X₁+1＞0，2^X₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x）在R上为增函数．

解析

2-x+a2-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+a2x+1，且函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。