探究函数f(x)=2x+8x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：x…0.511.51.71.

题文

探究函数f(x)=2x+8x，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x…0.511.51.71.922.12.22.33457…y…16108.348.18.0188.018.048.088.61011.615.14…请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=2x+8x(x＞0)在区间（0，2）上递减；函数f(x)=2x+8x(x＞0)在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数f(x)=2x+8x(x＞0)在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数f(x)=2x+8x(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵x＞0，∴2x+8x≥22x•8x=8
当且仅当x=2时，函数f(x)=2x+8x的最小值为8
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…（4分）
（2）证明：设x₁，x₂是区间（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂，可得
f(x1)-f(x2)=2x1+8x1-(2x2+8x2)
=2(x1-x2)+8x1-8x2=2(x1-x2)(1-4x1x2)
=2(x1-x2)(x1x2-4)x1x2
∵x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2），可得x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．（10分）
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数y=x+4x，当x＜0时，有最大值
当x=-2时，y_max=-4．（12分）

解析

8x

考点

据考高分专家说，试题“探究函数f(x)=2x+8x，x∈(0，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。