设函数f=lg．判断函数f的奇偶性，并给予证明；证明函数f在其定义域上是单调增函数；

题文

设函数f（x）=lg（x+x2+1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）它是奇函数．
由x+x2+1＞0x2+1≥0得x∈R，
即所给函数的定义域为R，显然它关于原点对称，
又∵f(-x)=lg(-x+x2+1)=lg(x+x2+1)-1=-lg(x+x2+1)=-f(x)
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lgx1+x12+1x2+x22+1．
令t=x+x2+1，则t₁-t₂=（x₁+x12+1）-（x₂+x22+1）
=（x₁-x₂）+（x12+1-x22+1）=（x₁-x₂）+(x1-x2)(x1+x2)   x12+1+x22+1．
=(x1-x2)(x12+1+x22+1+x1+x2)     x12+1+x22+1
∵x₁-x₂＜0，x12+1+x₁＞0，x22+1+x₂，x12+1+x22+1＞0，
∴t₁-t₂＜0，∴0＜t₁＜t₂，∴0＜t1t2＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜lg1=0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调增函数．

解析

x+x2+1＞0x2+1≥0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=lg（x+x2+1）．（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。