题文
已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），∵f（0）=1∴f（1）=2
同理得：∴f（2）=4（2分）
又对任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）
即 2f（n）=f（n+1）（4分）
当n∈N+时，f（n）=2f（n-1）=22f（n-2）=…=2nf（0）=2n
当n∈N-时，f（0）=2f（-1）=22f（-2）=…=2-nf（n），
即 f（n）=2n． （7分）
综上可得：f（n）=2n（n∈Z）
当x∈[3，4）时，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）
（Ⅱ）f（x）是定义域上的增函数．
任意取两个实数x1，x2，设x1＜x2
①若n-1≤x1＜x2＜n，则f（x1）-f（x2）=f（n-1）（x1-n）+f（n）-f（n-1）（x2-n）-f（n）
=f（n-1）（x1-x2）=2n-1（x1-x2）＜0（12分）
②若n1-1则x1＜n1n-1＜x2＜n，
依①可得 f（x2）…f（n-1）
事实上 f（n-1）=2n-1，f(n1)=2n1，∵n1，n-1
∴f（n1），f（n-1）∴f（x2）≥f（n1）f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)＜f(n1)≤f(x2)
综上所述：f（x1）＜f（x2）（16分）
所以，f（x）是定义域上的增函数．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M0＞M，且log2M0∈Z，
记x0=log2M0
则：f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0＞M
所以 f（x）为R上无界函数． （20分）
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说，试题“已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
