已知f的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f=f+f．求f的值．证明：f是奇函数．如果x＞0时，f（x

题文

已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值．
（2）证明：f（x）是奇函数．
（3）如果x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-12，试求使f（x²-2ax-1）≤1对x∈[2，4]恒成立的实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定义域为R，∴f（x）的定义域关于原点对称．
又令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数．
（3）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）是R上的减函数．
∵f（1）=-12，∴f(-1)=12，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x²-2ax-1）≤1即是f（x²-2ax-1）≤f（-2），
∴x²-2ax-1≥-2即x²-2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．
即a≤x2+12x对x∈[2，4]恒成立．
令g(x)=x2+12x，
则g′(x)=12-12x2=x2-12x2＞0在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上单调递增，
∴g(x)min=g(2)=1+14=54．
∴a≤54．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）的定义域为R，且当x，y∈R.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。