已知函数f(1x)=2x2+x+ax，其中x∈当a=12时，求f的最小值；在定义域内，f＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

题文

已知函数f(1x)=2x2+x+ax，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）当a=12时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定义域内，f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意知
∵f(1x)=2x2+x+ax，x∈（0，1]
设t=1x∈[1，+∞），可求得函数f（x）的解析式为f（x）=ax+2x+1定义域为x∈[1，+∞） 
（Ⅰ）当a=12时，f（x）=12(x+4x)+1x∈[1，+∞） 
 用定义证明f（x）的单调性如下：
设1≤x₁＜x₂≤2，则f（x₁）-f（x₂）=12(x1+4x1)-12( x2 +4x2)=12(x1-x2)(1-4x1x2)，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上单调递减．同理可证f（x）在[2，+∞）上单调递增．
∴f（x）的最小值为f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax+2x+1=ax2+x+2x＞0恒成立
∴等价于当x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞-x-2x2在x∈[1，+∞）恒成立    又1x∈（0，1]
令g（x）=-x-2x2=-2（1x）²-1x=-2（1x+14）²+18
即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范围[0，+∞）．

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(1x)=2x2+x+ax，其.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。