已知指数函数y=g满足：g=4，定义域为R上的函数f(x)=-g(x)+ng(x)+m是奇函数．求y=g与y=f的解析式；判

题文

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R上的函数f(x)=-g(x)+ng(x)+m是奇函数．
（Ⅰ）求y=g（x）与y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断y=f（x）在R上的单调性并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，试证：-1＜3f（b）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（2）=4得a=2，故g（x）=2^x，…（2分）
∵函数f(x)=-g(x)+ng(x)+m=-2x+n2x+m是奇函数
∴f（0）=-1+n1+m=0
∴n=1；又由f（1）=-f（-1）知-2 +12 +m=--12+112 +m，解得m=1
∴f（x）=1-2x1+2x
（II）f（x）=1-2x1+2x 在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-2x11+2x1-1-2x21+2x2=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）=1-2x1+2x 在（-∞，+∞）上为减函数
证明：（III）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，
即1-2x1+2x=21+2x-1=b在（-∞，0）上有解，
∵此时2^x∈（0，1）
∴21+2x-1∈（0，1）
从而b∈（0，1）
由（II）得f（x）=1-2x1+2x 在（-∞，+∞）上为减函数
∴f（1）＜f（b）＜f（0）．
即-13＜f（b）＜0
即：-1＜3f（b）＜0

解析

-g(x)+ng(x)+m

考点

据考高分专家说，试题“已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。