已知f是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=xx2+1．求f，f；求函数f的表达式；判断并

题文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且x∈[-1，0]时，f(x)=xx2+1．
（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）判断并证明函数在区间[0，1]上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当x=0，x=-1时，f(0)=0，f(-1)=-12…（2分）
（2）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，则f(-x)=-xx2+1…（4分）
因为函数f（x）为偶函数，所以有f（-x）=f（x）
既f(x)=-xx2+1…（6分）
所以f(x)=-xx2+1，x∈[0，1]xx2+1，x∈[-1，0)…（8分）
（3）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x2)-f(x1)=-x2x22+1--x1x12+1=(x2-x1)(x1x2-1)(x22+1)(x12+1)…（12分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0…（14分）
∴(x2-x1)(x1x2-1)(1+ x12)(1+x22)＜0
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在[0，1]为单调减函数…（16分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在[-1，1]上的偶函.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。