已知函数f=1a-1x．若f≤2x在上恒成立，求a的取值范围；若f在[m，n]上的值域是[m，n]（

题文

已知函数f（x）=1a-1x（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=1a-1x，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴转化为a≥x2x2+1=12x+1x在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=x2x2+1 =12x+1x（当且仅当2x=1x即x=22时取等号），
即g（x）≤122=24
要使a≥x2x2+1=12x+1x（0，+∞）上恒成立，则a≥24，
故a的取值范围是[24，+∞）．
（2）任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=1a+1x1-（1a+1x2）=x1-x2x1x2＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am²-m+a=0，an²-n+a=0．
故方程ax²+x+a=0有两个不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，则只需要△=（1）²-4a²＞0，由于a＞0，则0＜a＜12．
故（1）的答案为[24，+∞)
（2）的答案为0＜a＜12

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=1a-1x（a＞0，x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。