设函数f(x)=a•2x-11+2x是实数集R上的奇函数．求实数a的值；判断f在R上的单调性并加以证明；求函数f的值域．

题文

设函数f(x)=a•2x-11+2x是实数集R上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）求函数f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即a•2-x-11+2-x=-a•2x-11+2x，即a-2x1+2x=1-a•2x1+2x
即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函数∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴a•20-11+20=0．，解得a=1，然后经检验满足要求．）
（2）由（1）得f(x)=2x-12x+1=1-22x+1
设x₁＜x₂∈R，则f（x₁）-f（x₂）=（1-22x1+1）-（1-22x2+1）
=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函数
（3）f(x)=2x-12x+1=1-22x+1，
∵2^x+1＞1，∴0＜12x+1＜1，
∴0＜22x+1＜2，
∴-1＜1-22x+1＜1
所以f(x)=2x-12x+1=1-22x+1的值域为（-1，1）
或者可以设y=2x-12x+1，从中解出2^x=1+y1-y，所以1+y1-y＞0，所以值域为（-1，1）

解析

a•2-x-11+2-x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=a•2x-11+2x是实.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。