函数y=f对于任意正实数x、y，都有f=f•f，当x＞1时，0＜f＜1，且f=19．求证：f(x)f(1x)=1(x

题文

函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都有f（xy）=f（x）•f（y），当x＞1时，0＜f（x）＜1，且f（2）=19．
（1）求证：f(x)f(1x)=1(x＞0)；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性；并证明；
（3）若f（m）=3，求正实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）令x=1，y=2，得f（2）=f（1）f（2），又f(2)=19，
∴f（1）=1，…（2分）
令y=1x，得f(x•1x)=f(x)f(1x)=f(1)=1；  …（4分）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则x2x1＞1，0＜f(x2x1)＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x2x1•x1）=f（x₁）-f（x2x1）f（x₁）=f（x₁）[1-f（x2x1）]，…（7分）
而当x＞0时，f(x)=f(x•x)=[f(x)]2≥0，且由（1）可知，f(x)f(1x)=1，f（x）≠0，
则当x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，1-f（x2x1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
则f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数；…（10分）
（3）∵f(2)=19，
∴f（12）=1f(2)=9，
又f(12)=f(22•22)=[f(22)]2，且f(22)＞0，
∴f（22）=3，…（13分）
∵f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，m是正实数，
∴m=22…（16分）

解析

19

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）对于任意正实数x、y，都.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。