已知函数f(x)=2ax2+bx+c已知函数f经过，，三点，求f的解析式；求函数f的定义域和值域

题文

已知函数f(x)=2ax2+bx+c
（1）已知函数f（x）经过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的定义域和值域；
（3）确定函数的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=2ax2+bx+c过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，
∴8=2c16=2a+b+c1=2a-b+c，即：c=log28=3a+b+c=log216=4a-b+c=log21=0，
解方程组得：a=-1b=2c=3，
∴f(x)=2-x2+2x+3．
（2）∵f(x)=2-x2+2x+3对于任意x∈R都有意义，
∴f(x)=2-x2+2x+3的定义域为R．
设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，
当x∈R时，由二次函数性质知u∈（-∞，4]，
所以f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，
根据f（x）=2^u为指函数性质可知：f（x）∈（-∞，16]．
（3）由（2）知：设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，u∈（-∞，4]
①当x∈（-∞，1]时，随x增大，u增大，
从指数函数性质知：随u增大，f（x）=2^u也增大，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上为增函数．
②当x∈[1，+∞）时，随x增大，u减小，
从指数函数性质知：随u减小，f（x）=2^u也减小，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上为减函数．

解析

8=2c16=2a+b+c1=2a-b+c

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2ax2+bx+c（1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。