已知函数f(x)=a-22x+1，g(x)=1f(x)-a．若函数f为奇函数，求a的值；若g-a•g=0，有唯一实数解，求a的取

题文

已知函数f(x)=a-22x+1，g(x)=1f(x)-a．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=1f(x)-a=-2x+12（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-22x+12+a×2x+12=0（1分）
令t=2^x＞0，则问题转化为方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t²-at+1-a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
f(x)=2-22x+1∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有2-22m+1=m…(1)2-22n+1=n…(2)（2分）
∵m＜0∴0＜2^m＜1
∴0＜2-22m+1＜1
∴（1）式左边＞0，右边＜0，故（1）式无解．
同理（2）式无解．
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
法二：不存在实数m、n满足题意．（1分）
易知f(x)=2-22x+1∵y=2^x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有f(m)=mf(n)=n
即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．（1分）
由2-22x+1=x得2x+1=-2x-2
令h（x）=2^x+1，g(x)=-2x-2（1分）
∵函数g（x）在（-∞，0]上为单调递增函数
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程2x+1=-2x-2在（-∞，0）上无解
故不存在实数m、n满足题意．（2分）

解析

1f(x)-a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a-22x+1，g(x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。