定义在R上的函数f满足f+1=f+f，f=0，且当x＞1时f＜0．证明：f在R上是减函数；（2

题文

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+1=f（x）+f（y）（x，y∈R），f（1）=0，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）证明：f（x）在R上是减函数；
（2）若4f(m+14)≥3，求实数m的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：取y=1，则f（x+1）+1=f（x）+f（1）=f（x）．设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，x₁-x₂+1＞1，
因为当x＞1时f（x）＜0，所以f（x₁-x₂+1）＜0．
f（x₁）=f（x₁+1）+1=f[x₂+（x₁-x₂+1）]+1
=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）-1+1=f（x₂）+f（x₁-x₂+1）．
因为f（x₁-x₂+1）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁）．
所以函数f（x）在R上是减函数；
（2）取x=y=0，得f（0）+1=f（0）+f（0），
所以f（0）=1，
由4f(m+14)≥3，得4f(m+14)=4f(m4)-1≥3．
所以4f(m4)≥4，f(m4)≥1．
因为f（x）为实数集上的减函数，且f（0）=1
所以m4≤0．
则m≤0．
所以实数m的范围是（-∞，0]．

解析

m+14

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。