已知函数f(x)=ax2+x-1ex当a=0时，求函数f在[1，3]上的最大值和最小值；当-12≤a＜0时，讨论函数f的单调性；若

题文

已知函数f(x)=ax2+x-1ex
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）当-12≤a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=0时，f′(x)=2-xex，若f'（x）≥0，则x＜2，若f'（x）＜0，则x＞2．
所以当x=2时，函数取得即极大值即最大值f（2）=1e2，因为f（1）=0，f（3）=2e3＞0，
所以最小组为0．
（2）求导，得f′(x)=(ax+1)(2-x)ex，令f'（x）=0，则（ax+1）（2-x）=0，
当a≠0时，方程二根为-1a和2．
因为-12≤a＜0，所以-1a＞2，
由f'（x）＜0得，x＞-1a或x＜2，此时函数单调递减，
由f'（x）＞0，得-1a＜x＜2，此时函数单调递增．
（3）由f（x）+3≥0得ax²≥1-x-3e^x，当x=0时，f（x）+3≥0恒成立．
当x≠0时，若f（x）+3≥0恒成立，即a≥1-x-3exx2恒成立，令g(x)=1-x-3exx2，只需求其最大值即可．
由g′(x)=x(3ex-1)(2-x)x4=0，得x=2或x=-ln3．
当-ln3＜x＜0或0＜x＜2时，g'（x）＞0，当x＜-ln3或x＞2时，g'（x）＜0，
所以当x变化时，g（x），g'（x）的变化情况如下表： x （-∞，ln3）-ln3 （-ln3，0）0 （0，2）2 （2，+∞） g'（x）+0 - + 0- g（x） 递增极大值 递减   递增 极大值递减由上表可知，f（x）的极大值是f（-ln3）=1ln3和g（2）=-3e2+14，f（x）的最大值是f（-ln3）=1ln3，
所以要使f（x）+3≥0恒成立，则a≥1ln3．

解析

2-xex

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax2+x-1ex（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。