题文
已知函数f(x)=2x-12x+1（1）试判断函数的单调性并加以证明；
（2）当f（x）＜a恒成立时，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f(x)=2x-12x+1的定义域为R，函数f（x）在R上是增函数，
设x1，x2是R内任意两个值，并且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=2x1-12x1+2-2x2-12x2+1=(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)…（5分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x2
∴f(x1)-f(x2)=2(2x1=-2x2)(2x1+1)(2x2+1)＜0．
即∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函数．…（7分）
（2）f(x)=2x-12x+1=1-22x+1
∵2x＞0∴2x+1＞1
∴0＞21+2x＜2，
∴-2＜21+2x＜0，
∴-1＜1-21+2x＜1
即-1＜f（x）＜1…（10分）
当f（x）＜a恒成立时，a≥1…（12分）
解析
2x-12x+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-12x+1（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
