已知f是定义在R上的函数，且满足下列条件：①对任意的x、y∈R，f=f+f；②当x＞0时，f＜0．证明f在R上是减

题文

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下列条件：
①对任意的x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＜0．
（1）证明f（x）在R上是减函数；
（2）在整数集合内，关于x的不等式f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）的解集为{1}，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当时x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），
得f（0）=0，令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）∴f（x）在R上是奇函数，
设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上是减函数（6分）
（2）f（x²-4）-f（2x-2a）＞f（0）等价于
x²-4＜2x-2a即x²-2x+2a-4＜0（8分）
令g（x）=x²-2x+2a-4
根据题意，g(0)≥0g(1)＜0g(2)≥0的实数a的取值范围为2≤a＜52
∴a∈[2，52)（12分）

解析

g(0)≥0g(1)＜0g(2)≥0

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的函数，且满足下.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。