已知函数满足下列条件：定义域为[0，1]；对于任意，且f=1；当时，成立。求f的值；证明：对于任意的，都有

题文

已知函数

满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Ⅱ）对于任意

，且f（1）=1；
（Ⅲ）当

时，

成立。
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的

，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解：由函数

满足条件（Ⅱ）知

，
在条件（Ⅲ）中，令

得：

，
∴

，
故

。
（2）证明：对于任意的

，有

成立，
由

满足条件（Ⅱ）可得：

，
再由

满足条件（Ⅲ）可得：

，
即对于任意的

，都有

成立；
（3）解：当

时，

，由（2）知

，
∴

；
当x=0时，

，知

也成立，
故可猜想：当

时，

，
下面用反证法证明猜想成立：
假设存在

，使

，
由

知

，故必存在正整数

，使得

，
∴

均在[0，1]上，
由条件（Ⅲ）及假设知：

，
故

；
∵

，
∴

，
∴

，
又∵

，

，
∴

，与

矛盾，故假设不成立；
所以对于任意的

，都有

成立。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数满足下列条件：（Ⅰ）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。