对于定义域为D的函数y=f，若同时满足下列条件：①f在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D，使f在[a，b] 上的值域为

题文

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]

D，使f（x）在[a，b] 上的值域为[a，b] ；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数。
（1）求闭函数

符合条件②的区间[a，b] ；
（2）判断函数

是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数

是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意，

在[a，b]上递减，则


解得

，所以所求区间为[-1，1]
（2）取

则

，则f（x）不是（0，+∞）上的减函数。
取



，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若

是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]
即

∴a、b为方程

的两个实根，
即方程

由两个不等的实根。
当k≤-2时，有

，解得


当k＞-2时，有

，无解。
综上所述，k∈（-

，2].

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于定义域为D的函数y=f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。