已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x1，x2∈N，x1≠x2都有；试证明：f(x)为N上的单调增函数；n∈N，且f

题文

已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂都有

；
（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；
（2）

n∈N，且f(0)=1，求证：f(n)≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f(n+f(m))=f(n)+1， 证明：

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由

知，
对任意

，都有

，
由于a-b＜0，从而，所以函数f(x)为上的单调增函数。
（2） 由（1）可知，

都有f(n+1)＞f(n)，则有f(n+1)≥f(n)+1，
∴f(n+1)-f(n)≥1，
∴f(n)-f(n-1)≥1，
…
∴f(2)-f(1)≥1，
∴f(1)-f(0)≥1，
由此可得f(n)-f(0)≥n，
∴f(n)≥n+1命题得证。
（3）令m=0，可得出f(0)=1，
又f(n+1)=f(n)+1，
则f(n)=n+1，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f(x)，x∈N.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。