已知函数f对任意实数x均有f=kf，其中常数k为负数，且f在区间[0，2]上有表达式f=x。求f

题文

已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）。
（I）求f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）写出f（x）在[-3，3]上的表达式，并讨论函数f（x）在[ -3，3]上的单调性；
（Ⅲ）求出f（x）在[-3，3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值。题型：未知难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）f（-1）=kf（1）=-k
∵f（0.5）=kf（2.5）

已知函数f对任意实数x均有f=kf，其中常数k为负数，且f在区间[0，2]上有表达式f=x。求f

；
（Ⅱ）∵对任意实数x，f（x）=kf（x+2）
∴f（x-2）=kf（x）
∴f（x）=

当-2≤x<0，0≤x+2<2，f（x）=kf（x+2）=kx（x+2）；
当-3≤x<-2，-1≤x+2<0，f（x）=kf（x+2）=k²（x+2）（x+4）；
当2≤x≤3时，0≤x-2≤1，

；
故

∴k<0
∴f（x）在[-3，-1]与[1，3]上为增函数，在[-1，1] 上为减函数；
（Ⅲ）由函数f（x）在[-3，3]上的单调性可知f（x）在x=-3或x=1处取得最小值f（-3）=-k²或f（1）=-1，而在x=-1或x=3处取得最大值，f（-1）=-k或f（3）=-

故有①k<-1时，f（x）在x=-3处取得最小值f（-3）=-k²，在x=-1处取得最大值，f（-1）=-k；
②k=-1时，f（x）在x=-3与x=l处取得最小值f（-3）= f（1）=-1，在x=-1与x=3处取得最大值f（-1）=f（3）=1
③-1

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意实数x均有f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间

3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

已知函数f对任意实数x均有f=kf，其中常数k为负数，且f在区间[0，2]上有表达式f=x。求f

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