已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)=max{f(t)|a≤

题文

已知函数f(x)的图象在[a，b]上连续不断，定义：
f₁(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，
f₂(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，
其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值。若存在最小正整数k，使得f₂(x)-f₁(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，6]上的“k阶收缩函数”。 (Ⅰ)若f(x)=cosx，x∈[0，π]，试写出f₁(x)，f₂(x)的表达式；
(Ⅱ)已知函数f(x)=x²，x∈[-1，4]，试判断f(x)是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
(Ⅲ)已知b＞0，函数f(x)=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由题意可得：f₁(x)=cosx，x∈[0，π]，
f₂(x)=1，x∈[0，π]。
(Ⅱ)

，

，


，
当x∈[-1，0]时，1-x²≤k（x +1)，∴k≥1-x，k＞2；
当 x∈(0，1)时，1＜k(x+1)，∴

，∴

；
当x∈[1，4]时，x²≤k(x+1) ∴k

，∴

，
综上所述，∴

，
即存在k=4，使得f(x)是[-1，4]的4阶收缩函数。
(Ⅲ)f′(x)=-3x²+6x=-3x(x-2)，
令f′(x)=0得x=0或x=2，
函数f(x)的变化情如下：



 令f(x)=0，解得x=0或3，
ⅰ)b≤2时，f(x)在[0，b]上单调递增，
因此，f₂(x)=f(x)=-x³+3x²，f₁(x)=f(0)=0，
因为f(x)=-x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①f₂(x)-f₁(x)≤2(x-0)对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得f₂(x)-f₁(x)＞（x-0）成立，
①即：-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，由-x³+3x²≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x³+3x²≤2x对x∈[0，b]恒成立，
需且只需0＜b≤1；
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x²-3x+1）＜0成立，
由x(x²-3x+1)＜0得x＜0或

，
所以，需且只需

，
综合①②可得

；
ⅱ)2＜b≤3时，f(x)在[0，2]上单调递增，在[2，b]上单调递减，
因此，f₂(x)=f(2)=4，f₁(x)=f(0)=0，
f₂(x)-f₁(x)=4，x-0=x，
显然当x=0时，f₂(x)-f₁(x)≤2(x- 0)不成立；
ⅲ)当b＞3时，f(x)在[0，2]上单调递增，在[2，b]上单调递减，因此，f₂(x)=f（2)=4，f₁(x)=f(b)＜0，
f₂(x)-f₁(x)=4-f(b)＞4，x-0=x，
显然当x=0时，f₂(x)-f₁(x)≤2(x-0)不成立；
综合ⅰ)ⅱ)ⅲ)可得

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)的图象在[a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。