设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D上的导函数为g(x)。若在区间D上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D

题文

设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D上的导函数为g(x)。若在区间D上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”。已知实数m是常数，

，
（Ⅰ）若y=f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间（a，b）上都为“凸函数”，求b-a的最大值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：由函数

，得

，
∴

， 
（Ⅰ）若y=f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，则

在区间[0，3]上恒成立，
∵x=0时，

恒成立，
0＜x≤3时，

恒成立等价于

恒成立，
∵0＜x≤3时，

时增函数，
∴m＞F（3），即m＞2，
∴若f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，则m＞2。
（Ⅱ）当|m|≤2时，

恒成立，

|m|≤2时，

恒成立，
当x=0时，-3＜0显然成立，
∵m的最小值是-2， 
∴

，解得0＜x＜1，
当x＜0，

，
∵m的最大值是2，
∴

，解得-1＜x＜0；
综上可得-1＜x＜1，从而

，
∴b-a的最大值等于2。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f(x)在区间D上.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。