已知函数f=lnx，g=ax2+bx。若a=-2时，函数h=f-g在其定义域上是增函数，求实数b的取值

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

ax²+bx（a≠0）。
（1）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设函数ψ （x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数ψ （x）的最小值（用含b的式子表示最小值）；
（3）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点 M、N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）依题意

的定义域为（0，+∞）
因为h（x）在（0，+∞）上是增函数
所以

对x∈（0，+∞）恒成立
所以


因为x>0，
所以

（当且仅当

时取等号）
所以b的取值范围是

。
（2）设

则函数化为



∵


所以当

，即

时，函数y在[1，2]上是增函数，
当t=1时，y_min=b+1
当

，即-4＜b＜-2时，当

时，


；
当

，即b≤-4时，函数y在[1，2]上是减函数，
当t=2时，y_min=4+2b
综上所述，当

时，φ（x）的最小值为b+l；
当-4＜b＜-2时，φ（x）的最小值为

；
当b≤-4时，φ（x）的最小值为4+2b。
（3）设点P、Q的坐标是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，
则点M、N的横坐标为


C₁在点M处的切线斜率为


C₂在点N处的切线斜率为


假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
则k₁=k₂，即


所以





所以


设


则


令


则


因为u>1，
所以r'（u）>0
所以r（u）在（1，+∞）上单调递增
故r（u）>r（1）=0。
则

这与①矛盾，故假设不成立，
故不存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。