已知f=lnx-ax2-bx。若a=-1，函数f在其定义域内是增函数，求b的取值范围；当a=1，b=-1时，证明：函数f（x

题文

已知f（x）=lnx-ax²-bx。
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明：函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f'（x₀）＜0。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）依题意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增
∴

对x∈（0，+∞）恒成立
即

，对x∈（0，+∞）恒成立
∴只需


∵x＞0
∴


当且仅当

时取“=”
∴


∴b的取值范围为

。
（2）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴





∵x>0，
∴当0＜x＜1时，f'（x）>0
当x>1时，f'（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，
其值为f（1）=ln1-1²+1=0，
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函数f（x）只有一个零点。
（3）由已知得


两式相减得

=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）

（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由

及2x₀=x₁+x₂得












令

，


∵


∴φ（t）在（0，1）上递减，
∴φ（t）>φ（1）=0，
∵x₁＜x₂，
∴f'（x₀）＜0。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=lnx-ax2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。