已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条： ①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x

题文

已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2^x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]且f[f(x₀)]=x₀，求证：f(x₀)=x₀。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)令x₁=x₂=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]时，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
∴2^x-1∈[0，1]，
∴满足条件①；
又g(1)=2¹-1=1，
∴满足条件②；
设x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，则

，


，


，
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴

，
∴g(x₁+x₂)≥g(x₁)+g(x₂)，
∴满足条件③，
∴同时满足①②③．
(Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假设若x₀＜f(x₀)，则f(x₀)≤f[f(x₀)]=x₀矛盾；
同理若x₀＞f(x₀)，则f(x₀)≥f[f(x₀)]=x₀矛盾；
∴假设不成立，
∴f(x₀)=x₀。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为[0，1]的函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。