已知函数f=lnx，g=ax2+bx，a≠0。若b=2，且h=f-g存在单调递减区间，求a的取值范围； 设

题文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

ax²+bx，a≠0。
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁，C₂于点M、N，证明C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）

，


则


因为函数h（x）存在单调递减区间，
所以

＜0有解
又因为x>0时，则ax²+2x-1>0有x>0的解
①当a>0时，y=ax²+2x-1为开口向上的抛物线，ax²+2x-1>0总有x>0的解；
②当a＜0时，y=ax²+2x-1为开口向下的抛物线，而ax²+2x-1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根，此时，-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）。
（2）设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
则点M、N的横坐标为


C₁在点M处的切线斜率为


C₂在点N处的切线斜率为


假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂
即

，则






所以


设


则

①
令

则


因为

时，

，
所以

在

）上单调递增
故


则


这与①矛盾，假设不成立
故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx，g.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。