已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，如果函数的值域为[6，+∞），求b的值； 研究函数在定

题文

已知函数

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在

上是减函数，在

上是增函数，
（1）如果函数

的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数

（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数

和

（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数

（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（利用你的研究结论） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由所给函数

性质知，
当x＞0时，x=

时函数取最小值2

；
所以对于函数

，当x=

时取得最小值2

，
所以

，
∴b=log₂9；
（2）设

，则

，
由条件知在

时为单调增函数，

时为单调递减函数，
而t=x²在（0，+∞）为单调增函数，在（-∞，0）上为单调减函数，
所以由复合函数单调性知在

均单调递增，
解得

，
即

的单调增区间为

；
当

均单调递减，
解得

，
即函数

的单调减区间为

。
（3）由函数

的性质将这种类型的函数推广如下：
①当n为偶数时（n＞0），函数

的单调增区间为

，单调减区间为

；
②当n为奇数时（n＞0）函数

的单调增区间为

，单调减区间为

；
对于

，
而函数

上为减函数，在[1，2]上为增函数，
∴当x=1时，

的最小值为

时，

的最大值

，
所以F(x)在x=1时，取最小值为F(1)=2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ⁺¹，
当x=2和

时，
F(x)的最大值为F(2)=

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数有如下性质：如果常数a＞0.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。